​
Doğrusal Denklemler

​
Doğrusal Denklem Çözümleri

Bir (doğrusal) denklemin çözümü, denklemi doğru kılan (sağlayan) belirli bir değer veya değerler topluluğudur.

Örneğin, 2x + 5 = 11 denkleminde x=3 olur ve bu, denklemin **‘tek çözümü’**dür.

  • 3a - 4b = 14 denkleminde ise örnek olarak a=6, b=1 yani (6,1) bir çözümdür. Fakat bu tek çözüm olmayabilir. Bu denklem için (22/3, 2) de bir çözümdür. Aslında bu şekilde sonsuz sayıda çözüm barındırabilir.

​
Doğrusal Denklem Sistemleri

Bazı durumlarda aynı anda 2 veya daha fazla denklemin çözüm kümesiyle ilgileniriz. Bu denklem topluluğuna doğrusal denklem sistemi denir.

  1. 2a - b = 4, a + 3b = 3 - 2 bilinmeyenli 2 denklemden oluşan sistem.

  2. 2a - b - c = 3, a + 2b + 3c = -5 - 3 bilinmeyenli 2 denklemden oluşan sistem. Bu tür sistemlere (bilinmeyen sayısı > denklem sayısı) ‘eksik belirlenmiş’ (underdetermined) sistem denir.

  3. 2x + y = 5, -x + 4y = √3, 2x - 3y = 0 - 2 bilinmeyenli 3 denklemden oluşan sistem. Bu tür sistemlere (denklem sayısı > bilinmeyen sayısı) ‘aşırı belirlenmiş’ (overdetermined) sistem denir.

Genel bir kural olarak, bir denklem sisteminin tek bir çözüme sahip olması için genellikle en az bilinmeyen sayısı kadar (lineer bağımsız) denklem olması beklenir, ancak bu tek başına yeterli veya gerekli değildir.

​
Doğrusal Sistemlerin Çözümleri (Örnek: Diyet Düzenleme)

Bir laboratuvardaki tavşanlara, Mix A, Mix B ve Mix C olarak etiketlenmiş üç farklı besin türünden oluşan katı bir diyet verilmektedir. Bu karışımların makro besin değerleri (gram cinsinden) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Karbonhidrat (g)Protein (g)Yağ (g)
Mix A311
Mix B156
Mix C1240.5

Her tavşanın günlük olarak:

  • 35 gram karbonhidrat,

  • 28 gram protein,

  • 27 gram yağ
    alması gerekmektedir. Bu gereksinimleri karşılamak için her bir karışımdan ne kadar verileceğini hesaplamak amacıyla bir denklem sistemi kuracağız.

Varsayalım ki her tavşan:

  • a a a

birim Mix A,

  • b b b

birim Mix B,

  • c c c

birim Mix C alıyor olsun.

Tablodaki değerleri kullanarak aşağıdaki doğrusal denklemleri elde ederiz:

  1. Karbonhidrat denklemi:

    3a + 1b + 12c = 35
    ]

  2. Protein denklemi:

    a + 5b + 4c = 28
    ]

  3. Yağ denklemi: (Not: Orijinal metinde bu denklemde ‘2a’ vardı, tabloya göre ‘a’ olmalı.)

    a + 6b + 0.5c = 27
    ]

Bu üç denklem,

a a a

,

b b b

ve

c c c

değerlerini bulmak için çözülmesi gereken doğrusal denklem sistemini oluşturur:

{3a+b+12c=35a+5b+4c=28a+6b+0.5c=27\begin{cases} 3a + b + 12c = 35 \\ a + 5b + 4c = 28 \\ a + 6b + 0.5c = 27 \end{cases} ⎩⎨⎧​3a+b+12c=35a+5b+4c=28a+6b+0.5c=27​}

Soru: Sadece bu üç besin türünü kullanarak, her türlü diyet ihtiyacını (farklı makro besin hedeflerini) karşılamak mümkün müdür?

Yanıt: Bu, hedeflenen besin değerlerine bağlıdır. Kurulan denklem sisteminin çözümü var olsa bile, çözümdeki

a,b,ca, b, ca,b,c

değerlerinin fiziksel olarak anlamlı olması gerekir (örneğin, negatif miktarda karışım verilemez). Bazı hedef değerler için sistemin çözümü olmayabilir veya negatif değerler içerebilir. Bu yüzden her zaman garanti değildir.

​
Doğrusal Denklem Sisteminin Çözüm Türleri

(Doğrusal) bir sistemin çözümü, sistemdeki her denklemi aynı anda sağlayan değerler kümesidir.

​
Örnek denklem sistemi (Tek Çözüm)

  • 2x - y = 4

  • -x + 3y = 3

Bu sistemde:

  • (5, 6) ilk denklemi sağlar (25 - 6 = 4), fakat ikinci denklemi sağlamaz (-5 + 36 = 13 ≠ 3).

  • (1, 4/3) ikinci denklemi sağlar (-1 + 3*(4/3) = -1 + 4 = 3), fakat birinci denklemi sağlamaz (2*1 - 4/3 = 6/3 - 4/3 = 2/3 ≠ 4).

Sistemi çözdüğümüzde (örneğin yerine koyma veya yok etme metoduyla), (x, y) = (3, 2) değerlerinin her iki denklemi de sağladığını görürüz:

  • 2*3 - 2 = 6 - 2 = 4 (Sağlıyor)

  • -3 + 3*2 = -3 + 6 = 3 (Sağlıyor)
    Bu değer çifti, bu sistemin tek çözümüdür.

​
Örnek denklem sistemi (Sonsuz Sayıda Çözüm)

  • 2x - y = 4

  • -4x + 2y = -8

İkinci denklemi -2 ile sadeleştirirsek, 2x - y = 4 elde ederiz, ki bu birinci denklemle aynıdır. Bu durumda, iki denklem aslında aynı doğruyu temsil eder. Bu doğru üzerindeki her nokta sistemin bir çözümüdür. Örneğin:

  • (1, -2): 2(1) - (-2) = 4 ve -4(1) + 2(-2) = -4 - 4 = -8. (Sağlıyor)

  • (3, 2): 2(3) - 2 = 4 ve -4(3) + 2(2) = -12 + 4 = -8. (Sağlıyor)
    Genel çözüm, x = a dersek, y = 2a - 4 şeklinde ifade edilebilir. Yani (a, 2a - 4) formundaki tüm noktalar çözümdür. Dolayısıyla sonsuz sayıda çözüm vardır.

​
Örnek denklem sistemi (Çözüm Yok)

  • 2x - y = 4

  • 6x - 3y = 9

İkinci denklemi 3 ile sadeleştirirsek, 2x - y = 3 elde ederiz. Sisteme göre 2x - y ifadesi hem 4’e hem de 3’e eşit olmalıdır. Bu bir çelişkidir (4 ≠ 3). Bu iki denklem, birbirine paralel fakat farklı doğruları temsil eder. Kesişim noktaları yoktur, dolayısıyla bu denklem sisteminin çözümü yoktur.

​
Eksik Belirlenmiş Sistemlerin Çözümleri (Underdetermined)

Denklem sayısının bilinmeyen sayısından az olduğu sistemlerdir.

  • Bu sistemlerin genellikle sonsuz sayıda çözümü bulunur, ancak çözümü olmayabilir de.

  • Örnek 1: x + y + z = 2, x - 2y + z = 5

    • İkinci denklemden birinci denklemi çıkarırsak: (x - 2y + z) - (x + y + z) = 5 - 2 => -3y = 3 => y = -1.

    • y = -1 değerini ilk denkleme yerine koyarsak: x + (-1) + z = 2 => x + z = 3.

    • Bu durumda, z’yi serbest değişken olarak seçersek (örneğin z = a), x = 3 - a olur.

    • Sistemin çözümü (3 - a, -1, a) formundaki tüm üçlülerdir (burada a herhangi bir reel sayıdır). Görüldüğü gibi sonsuz sayıda çözüm vardır.

  • Örnek 2: 2x - y + 3z = 5, -4x + 2y - 6z = 8

    • İkinci denklem, birinci denklemin -2 katıdır: -2 * (2x - y + 3z) = -4x + 2y - 6z.

    • Ancak, sabit terimler uyuşmuyor: -2 * 5 = -10, fakat ikinci denklemde sabit terim 8’dir.

    • Bu bir çelişki (-10 ≠ 8) olduğundan, bu sistemin çözümü yoktur.

​
Aşırı Belirlenmiş Sistemlerin Çözümleri (Overdetermined)

Denklem sayısının bilinmeyen sayısından fazla olduğu sistemlerdir.

  • Bu sistemlerin genellikle çözümü yoktur, ancak tek bir çözümü veya sonsuz çözümü de olabilir (eğer bazı denklemler diğerlerinin lineer kombinasyonu ise).

  • Örnek: 2x + y = 2, x - 2y = 5, -x + 7y = -4

    • İlk iki denklemi çözelim:

      • İlk denklemi 2 ile çarp: 4x + 2y = 4.

      • İkinci denklemle topla: (4x + 2y) + (x - 2y) = 4 + 5 => 5x = 9 => x = 9/5.

      • x = 9/5’i ilk denkleme koy: 2(9/5) + y = 2 => 18/5 + y = 10/5 => y = 10/5 - 18/5 = -8/5.

    • İlk iki denklemin ortak çözümü (x, y) = (9/5, -8/5)‘dir.

    • Bu çözümü üçüncü denklemde kontrol edelim: -x + 7y = -(9/5) + 7(-8/5) = -9/5 - 56/5 = -65/5 = -13.

    • Üçüncü denklem -x + 7y = -4 olmasını gerektiriyordu, ancak biz -13 bulduk. -13 ≠ -4 olduğundan, bu nokta üçüncü denklemi sağlamaz.

    • Dolayısıyla, bu üç denklemi aynı anda sağlayan bir (x, y) çifti yoktur; sistemin çözümü yoktur.

    • Not: Eğer üçüncü denklem -x + 7y = -13 olsaydı, o zaman (9/5, -8/5) tüm sistemi sağlardı ve sistemin tek çözümü olurdu.

  • Tıpkı 3a - 4b = 14 gibi tek bir denklemin sonsuz çözüme (sonsuz sayıda (a, b) çiftine) sahip olması gibi, belirli bir çözüm noktası (örneğin, a=5, b=2) da sonsuz sayıda farklı denklem veya denklem sistemini sağlayabilir.

​
Doğrusal Bir Sistemin Çözüm Sayısı

Doğrusal bir denklem sistemi verildiğinde, çözüm sayısı için yalnızca 3 olasılık vardır:

(i) Sistemin tek bir (özgün) çözümü olabilir.
(ii) Sistemin sonsuz sayıda çözümü olabilir.
(iii) Sistemin hiç çözümü olmayabilir.

  • Sistemin en az bir çözümü varsa (durum (i) ve (ii)), bu sisteme tutarlı (consistent) sistem denir.

  • Sistemin herhangi bir çözümü yoksa (durum (iii)), buna tutarsız (inconsistent) sistem denir.

Neden Sonlu Sayıda (örneğin 2 veya 3 tane) Çözüm Olamaz?

Bunu 2 bilinmeyenli sistemlerin geometrik yorumuyla kolayca anlayabiliriz:
Her bir denklem bir doğruyu temsil eder. İki doğrunun düzlemdeki durumları şunlar olabilir:

  • Eğer doğrular tek bir noktada kesişiyorsa, sistemin tek bir çözümü vardır (Durum i).

  • Eğer doğrular üst üste çakışıyorsa (aynı doğruysa), sistemin sonsuz çözümü vardır (Durum ii).

  • Eğer doğrular paralel ve farklıysa, sistemin çözümü yoktur (Durum iii).

İki farklı doğrunun birden fazla ayrık noktada (örneğin 2 veya 3 noktada) kesişmesi mümkün değildir. Bu nedenle, bir doğrusal sistemin 2 veya 3 gibi sonlu sayıda çözümü olamaz. Bu ilke, daha yüksek boyutlardaki düzlemler ve hiperdüzlemler için de geçerlidir. Kesişimleri ya tek bir nokta, ya bir doğru/düzlem/… (sonsuz çözüm) ya da boş küme (çözüm yok) olabilir.

​
2 Bilinmeyenli Sistemlerin Geometrik Yorumlanması

ax + by = c biçimindeki her denklem (a, b, c sabitler ve a ile b aynı anda sıfır değil), analitik düzlemde bir doğruya karşılık gelir. Bu sayede 2 bilinmeyenli sistemler geometrik olarak yorumlanabilir:

(Resim: Üç durumu gösteren çizimler - Kesişen, Paralel, Çakışık doğrular)

​
3 Bilinmeyenli Sistemlerin Geometrik Yorumlanması

3 bilinmeyenli (ax + by + cz = d) bir doğrusal denklem, 3 boyutlu uzayda bir düzleme karşılık gelir. 3 denklemden oluşan bir sistem, uzaydaki üç düzlemin birbirine göre konumunu inceler.

​
1. Tutarlı (Consistent) Sistemler (En az bir çözüm var)

  • Üç düzlem tek bir noktada kesişir. Bu nokta sistemin tek çözümüdür.

  • Üç düzlem bir doğru boyunca kesişir. Bu doğru üzerindeki tüm noktalar sistemin çözümüdür.

  • Üç düzlem tamamen üst üste çakışıktır (aslında tek bir düzlemdir). Bu düzlem üzerindeki tüm noktalar sistemin çözümüdür. (Not: İki düzlem çakışık, üçüncüsü bunları bir doğru boyunca kesiyorsa yine 1.2’deki durum oluşur.)

​
2. Tutarsız (Inconsistent) Sistemler (Çözüm yok)

  • Üç düzlem birbirine paraleldir ve farklıdır (veya ikisi çakışık, üçüncüsü onlara paralel ve farklıdır). Hiçbir ortak noktaları yoktur.

  • İki düzlem birbirine paralel ve farklıdır, üçüncü düzlem ise bu paralel düzlemleri (farklı doğrularda) keser. Üçünün birden ortak olduğu bir nokta yoktur.

  • Düzlemler birbirine paralel değildir, ancak ikişer ikişer kesiştiklerinde oluşan üç kesişim doğrusu birbirine paraleldir veya aynı noktada kesişmezler (üçgen prizma gibi). Üçünün birden ortak olduğu bir nokta yoktur.

​
Geometrik Yorum Özeti

  • Tutarlı sistemler: Düzlemlerin ortak bir noktası, doğrusu veya düzlemi vardır.

  • Tutarsız sistemler: Düzlemlerin üçünün birden ortak olduğu hiçbir nokta yoktur.

(Resim: Tutarlı sistemler için düzlem konfigürasyonları)

(Resim: Tutarsız sistemler için düzlem konfigürasyonları)

​
Matrisler

Lineer denklem sistemlerini daha sistematik ve düzenli bir şekilde ele almak ve çözmek için matris adı verilen matematiksel yapıları kullanırız.

​
Matris Nedir?

Matris, sayıların (veya başka matematiksel nesnelerin) dikdörtgen bir tablo şeklinde düzenlenmiş halidir. Bu derste, aksi belirtilmedikçe, matris içindeki “sayılar” reel sayıları ifade edecektir.

​
Matris Örnekleri

Bir matrisin boyutu (veya mertebesi), sahip olduğu satır ve sütun sayısı ile belirlenir. Genel olarak, bir matris m × n boyutundadır denir. Burada:

  • m: Matrisin satır sayısını ifade eder.

  • n: Matrisin sütun sayısını ifade eder.

​
Örnek Matrisler

  1. Matris A:

    ]

    • Boyut: 2 satır × 3 sütun (2 × 3 boyutlu matris).

    • Eleman (Entry/Girdi): Matrisin içindeki her bir sayıya matrisin elemanı veya girdisi denir. Matris A’nın toplam 2 * 3 = 6 elemanı vardır.

    • Gösterim: Matrisler genellikle köşeli parantez [ ] veya yuvarlak parantez ( ) içine alınarak gösterilir.

  2. Matris B:

    • Boyut: 2 satır × 2 sütun (2 × 2 boyutlu matris).

    • Kare Matris: Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislere (m = n) kare matris denir. Matris B, 2 × 2 boyutlu bir kare matristir.

✅ Özet:

  • Matrisler, sayıların dikdörtgen bir tablo düzenidir.

  • Bir matrisin boyutu m × n (m satır, n sütun) olarak ifade edilir.

  • Satır ve sütun sayısı eşit olan (m = n) matrislere kare matris denir.